نامساوی های یانگ ماتریسی

نامساوی ها یکی از مهمترین حوزه های پژوهشی آنالیز ماتریسی هستند که از ابتدا مورد علاقه بسیاری از ریاضی دانان بوده و کاربردهایی در علوم مختلف از جمله محاسبات علمی، نظریه سیستم و کنترل، تحقیق در عملیات، فیزیک ریاضی، استاتیک، اقتصاد و مهندسی دارد. نخستین بار در سال $1934$ کتاب تقریبا جامعی با نام "نامساوی ها" cite{h} توسط هاردی، ltrfootnote{g. h. hardy} لیتل وود ltrfootnote{e. littlewood} و پولیا ltrfootnote{ polya} نگاشته شد. از آن پس ، تلاش های زیادی برای چاپ و نشر کتاب، رساله و مقاله در حوزه نامساوی های ریاضی صورت گرفت. یکی از زمینه های اساسی تحقیق و پژوهش در نظریه عملگرها و آنالیز ماتریسی، نامساوی های عملگری و ماتریسی است. در واقع می توان گفت نامساوی های ماتریسی منعکس کننده آنالیز ماتریسی از دیدگاه کمی می باشند. نامساوی های ماتریسی، موضوعات مختلفی مانند نرم ماتریسی، میانگین های ماتریسی، توابع محدب، توابع معین مثبت، مقادیر ویژه و مقادیر منفرد ماتریس ها را در بر می گیرد. افراد زیادی سعی کرده اند روابط و نامساوی های اعداد را برای ماتریس ها به کار گیرند، اما آنچه که به نظر می رسد این است که در به کارگیری بعضی از نامساوی ها برای ماتریس ها باید نهایت دقت را به کار گرفت زیرا نسخه های جالبی از نامساوی های اعداد برای ماتریس ها وجود دارد، اما تنها برخی از آن ها به نتایج مطلوبی می رسند. برای مثال extit{نامساوی مثلث } برای دو ماتریس $ a$ و $ b$ به شکل $ mid a+b mid leq mid a mid+mid b mid $ همه جا درست نیست cite{r11}. به عنوان مثالی دیگر، اگر $a$ و $b$ دو عدد مثبت باشند نامساوی زیر را همواره برای اعداد داریم : $$ mid a - b mid leq a +b $$ ظاهرا انتظار داریم نسخه ی ماتریسی این نامساوی برای دو ماتریس مثبت $a$ و $ b$ به صورت زیر باشد: $$ mid a-b mid leq a+b$$ ولی این نامساوی همیشه درست نیست cite{r11}. شاید اگر از نسخه ی مقادیر تکین (به جای خود ماتریس) استفاده کنیم موفق تر باشیم. یعنی این که egin{equation}label{se} s_{j} (a-b) leq s_{j} (a+b), qquad qquad 1 leq j leq n end{equation} باز هم می توان مثالی آورد که درستی نامساوی فوق را نقض می کند cite{r11}. ، اما اگر ادعای ضعیف تری را برای نرم های یکانی پایا به کار گیریم. یعنی این که: egin{equation}label{z} ormu{ a-b} leqslant ormu{a+b}, end{equation} آن گاه نامساوی ( ef{z}) همواره درست است. یک اثبات از این نامساوی در cite{r11} آورده شده است.در سال $1990$ برای اولین بار باهاتیا ltrfootnote{bhatia} و کیتانه ltrfootnote{kittaneh} نسخه ای ماتریسی از میانگین هندسی - حسابی را به شکل زیر صورت بندی و اثبات نمودند: $$2s_{j}(a^{ast}b) leq s_{j} (aa^{ast} + bb^{ast}), qquad qquad 1 leq j leq n.$$ واضح است که اگر دو ماتریس $a$ و $b$ مثبت باشند، آن گاه نامساوی فوق به شکل زیر خواهد بود: $$2 s_{j}(ab) leq s_{j}(a^{2} + b^{2}), qquad qquad 1 leq j leq n.$$ پس به عنوان یک نتیجه از نامساوی فوق، اگر $ a, b in mathbb{m}_{n}$ که در آن $ mathbb{m}_{n} $ جبر همه ماتریس های مختلط $ n imes n $ می باشد، آن گاه بنا به قضیه تسلطی فن ltrfootnote{fan dominance theorem} برای هر نرم تحت یکانی پایا داریم: egin{equation}label{e19} ormu{a^{*}b} leq frac{1}{2} ormu{a^{*}a+b^{*}b}. end{equation} پس نسخه ی نرم یکانی پایا نامساوی میانگین حسابی ـ هندسی نیز برقرار است. آن ها همچنین یک تعمیم از نامساوی ( ef{e19}) به صورت زیر ثابت کردند: $$ ormu{a^{*}xb} leq frac{1}{2} ormu{aa^{*}x+xbb^{*}} qquad (a, b, x in mathbb{m}_{n}).$$ در سال $1995$ آندو ltrfootnote{ando} نسخه ماتریسی نامساوی "یانگ" را به صورت زیر ارائه کرد. برای هر جفت از ماتریس های $a,b in mathbb{m}_{n} $ ، یک ماتریس یکانی $ u in mathbb{m}_{n}$ وابسته به $ a$ و $b $ وجود دارد به طوری که $$u^{*} vert ab^{*} vert u leq dfrac{vert a vert}{p}^{p} + dfrac{vert b vert}{q}^{q}.$$ در نتیجه $$ s_{j}(ab) leq s_{j}(dfrac{a^{p}}{p}+dfrac{b^{q}}{q}).$$ به نظر می رسد این موضوع بسیاری از نویسند گان را تحریک کرده است که اثبات های گوناگون، گزاره های معادل، توسیع ها و تعمیم هایی در جهات مختلف بیابند. در رساله حاضر برخی از این توسیع ها را بررسی می کنیم و بر روی دیگر موضوعات مربوطه بحث می نمائیم. برای این منظور مطالب در چهار فصل تنظیم شده اند. در فصل اول پیشنیاز های مورد نیاز جهت فهم مفاهیم فصل های بعد آورده شده است. در فصل دوم نسخه ماتریسی نامساوی حسابی -هندسی را با نرم تحت یکانی پایا از نظر می گذرانیم و سپس نسخه ماتریسی نامساوی را با نرم شعاع عددی بررسی می کنیم.در فصل سوم ابتدا نسخه ماتریسی نامساوی یانگ را با نرم شعاع عددی و نرم عملگری بررسی می کنیم و با استفاده از آن یک اثبات جدید برای رد یک نسخه ماتریسی از نامساوی یانگ با نرم های یکانی پایا به دست می آوریم.در فصل چهارم ابتدا با استفاده از نامساوی یانگ به جای نامساوی هندسی - حسابی تعدادی نامساوی عملگری مهم را تعمیم داده و سپس با استفاده از یک شکل بهبود یافته از نامساوی یانگ این نامساوی ها را بهبود می دهیم.